Již tedy víme, co je to trojúhelník a jak se dělí podle stran i podle úhlů. Zatím jsme si však neřekli žádnou kouzelnou formulku, pomocí níž bychom nějaký ten trojúhelník vyčarovali na pergamen. K tomu se dostáváme právě teď. Nejjednodušší a nejzákladnější kouzlo je *Trigonumus* [trygonumus],pomocí něhož narýsujeme na pergamen libovolný trojúhelník, zcela náhodně. Nejsou u něj určeny ani úhly, ani strany, dokonce není zaručen ani typ. Pohyb hůlkou je stejný jako při samotné kresbě trojúhelníku, kreslíme tedy ve vzduchu nad pergamenem tři strany – doleva dolů, vpravo a zpět nahoru k počátku. K tomu vyslovujeme po částech zaklínadlo *Tri-go-numus*. Je velice důležité toto zaklínadlo dokonale ovládat, protože je nedílnou součástí všech dalších trojúhelníkových formulí.

Uvedla jsem zde celkem šest druhů trojúhelníků. Samozřejmě existují základní formule pro narýsování každého z nich, postupně si je teď představíme. Nejprve je ale důležité říci, že pro každý typ trojúhelníku je první část kouzelné formule totožná s kouzlem *Trigonumus*, jednotlivé druhy se tak liší pouze unikátním dovětkem ve formuli.

Libovolný obecný trojúhelník tak dostaneme pomocí formule *Trigonumus  universalis*, přičemž vyslovujeme Tri-go-numus s pohybem hůlkou do tvaru trojúhelníku (tedy stejně jako u obyčejného kouzla *Trigonumus*) a dovětek universalis [unyverzális] vyslovíme při konečném poklepnutí hůlkou. Formulky pro zbývajících pět druhů trojúhelníků se pak provádějí naprosto stejně a mění se pouze vyslovovaný dovětek.

Rovnoramenný trojúhelník narýsujeme pomocí kouzla *Trigonumus parihumerus* [paryhumérus],rovnostranný pak pomocí kouzla *Trigonumus parilinealis*  [parylineális].Tyto formulky už jsou trochu náročnější zejména na správnou a zřetelnou výslovnost, je tedy potřeba důkladně si je procvičit. Tyto tři kouzelné formulky nám slouží k narýsování libovolného trojúhelníku daného typu, ale bez určené délky stran.

Chceme-li tedy získat trojúhelník s námi určenými délkami stran, musíme se při kouzlu na tuto délku soustředit. Samozřejmě nejjednodušším případem je trojúhelník s určenou jednou stranou. Soustředíme se totiž pouze na jednu hodnotu, případně na stranu, která má mít tento rozměr. Rovnostranný trojúhelník je tak nejjednodušším případem, protože všechny strany jsou stejně dlouhé a stačí tak myslet pouze na jeden jediný rozměr. Rovnoramenný trojúhelník má již o jeden rozměr navíc, délka základny a délka ramen. Je třeba se soustředit na hodnotu, ale navíc, zda tato hodnota odpovídá straně, která je základna, nebo stranám, jež jsou ramena. Obecný trojúhelník je pak nejtěžším případem, kdy se musíme soustředit na hodnotu a přesně danou stranu. Pokud chceme narýsovat obecný trojúhelník s předem danými všemi stranami, musíme se soustředit na tři hodnoty příslušných tří stran. Důležité je však říci, že ne každá kombinace tří rozměrů stran může vytvořit trojúhelník. V takovém případě se buď nevykreslí vůbec nic, nebo se vykreslí něco, co nebude trojúhelníkem.

Obdobně jako trojúhelníky s předem zadanými stranami, můžeme rýsovat trojúhelníky s předem danými úhly. Existují však i složitější kombinace a konstrukce, u nichž už se neobejdeme bez nových kouzelných formulí. Samozřejmě i pro výše popsané případy máme kouzelné formule, ale dokážeme se bez nich po chvilce cviku zcela obejít a vystačit si tak pouze s naším soustředěním. 

Vraťme se ale zpátky k našim formulkám pro jednotlivé typy trojúhelníků. Zbývají předvést ještě tři kouzla, a to pro typy podle úhlů. Ostroúhlý trojúhelník vykouzlíme na pergamenu pomocí kouzla *Trigonumus acutarcus* [akutarkus], tupoúhlý trojúhelník kouzlem *Trigonumus amblyarcus * [amblyarkus] a konečně poslední pravoúhlý trojúhelník kouzlem *Trigonumus probuarcus * [probuarkus].Těmito formulkami opět získáváme trojúhelník příslušného typu bez předem určených parametrů (délek stran nebo přesné velikosti úhlů).

Trojúhelníková nerovnost je vlastně taková matematická věta, která nám odkrývá jednu z vlastností trojúhelníků. Tato věta zní následovně: součet délek libovolných dvou stran trojúhelníku je vždy delší než délka strany třetí. Jestliže máme trojúhelník o stranách a, b, c, pak nám věta říká, že a + b > c nebo a + c > b nebo b + c > a. Trojúhelníková nerovnost nám tak dává nástroj, jak rozpoznat, zda zadané délky mohou vytvořit trojúhelník nebo ne. Příslušná kouzelná formule pak zní *Trigonumus pravitas* následovaná poklepnutím na jednotlivé hodnoty stran a,b,c. V případě, že z daných délek lze sestavit trojúhelník, vypíše se na pergamen „Vyhovuje.“, v opačném případě „Nevyhovuje.“.

Výška je úsečka v trojúhelníku taková, že jeden její krajní bod je vrcholem trojúhelníku a druhý krajní bod je patou kolmice, jež je vedená od zmiňovaného vrcholu na protější stranu. Jinými slovy vytvoříme kolmici k jedné straně trojúhelníku tak, aby vedla do protilehlého vrcholu. Každý trojúhelník má tři strany a tři vrcholy, z čehož plyne, že bude mít také tři výšky. Výšky označujeme malým písmenem v s indexem názvu strany, ke které příslušná výška patří, tj. v_a, v_b, v_c.

Situaci popsanou v zadání si převedeme do schematického obrázku, který si vykouzlíme. Údaje, které známe, jsou: a = 50cm, c_a = 40cm. Našim úkolem je nalézt velikosti b, c_b a v_c. Všechny neznámé hodnoty si zapíšeme takto: b = ?, c = ?, c_b = ? a v_c = ?.

Nejprve musíme použít Euklidovu větu o odvěsně (tzn. vzorečky a² = c . c_a a b² = c . c_b), protože známe hodnoty a a c_a, čímž získáme rozměr c. Kouzelná formule pro tuto větu zní *Eukleidés secundus de …* a postupné poklepnutí nejprve na hodnotu a, pak na hodnoty c a c_a, přičemž jedna ze tří hodnot bude reprezentovaná otazníkem.

V našem případě to bude vypadat následovně: *Eukleidés secundus de* /ťuk na 50/, /ťuk na ?/, /ťuk na 40/. Výsledkem bude ? = 62,5, což znamená, že rozměr c = 62,5cm. Známe rozměr c a c_a, z čehož jednoduše dopočítáme rozměr c_bpoužitím jistě dobře známého kouzla *Solve*. Tedy rozměr c_b = 22,5cm. Euklidovu větu o odvěsně teď můžeme použít znovu, tentokrát na zjištění rozměru b. *Eukleidés secundus de* /ťuk na ?/, /ťuk na 62,5/, /ťuk na 22,5/. Výsledkem je ? = 37,5, tedy b = 37,5cm.

Poslední rozměr, který nám zbývá vypočítat je výška v_c. K tomu použijeme Euklidovu větu o výšce (tzn. vzoreček v_c²= c_a . c_b). Kouzelná formule je obdobná té předchozí a zní *Eukleidés primulus de …* a postupné poklepnutí nejprve na hodnotu v_c, pak na hodnoty c_aa c_b, přičemž jedna ze tří hodnot bude reprezentovaná otazníkem.

V našem případě tedy *Eukleidés primulus de * /ťuk na ?/, /ťuk na 40/, /ťuk na 22,5/ a dostaneme ? = 30, což znamená v_c = 30cm. Obdrželi jsme tak všechny rozměry a můžeme psát odpověď.

Část záhonku s rumexem má rozměry: 37,5cm (rozměr b), 30cm (rozměr v_c) a 22,5cm (rozměr c_b).

Mudlovským způsobem by celý výpočet zkráceně vypadal takto:

a²= c . c_a

50²= c x40 ->  2500 = 40 x c ->  c = 62,5

c = c_a + c_b

62,5 = 40 + c_b ->  c_b= 22,5

b²= c . c_b

b²= 62,5 x22,5 ->  b² = 1406,25 ->  b = 37,5

v_c² = c_a . c_b

v_c² = 40 x22,5 ->  v_c ² = 900 ->  v_c = 30.

Pythagoras ze Samu žil v období zhruba od 570 př. n. l. do 510 př. n. l., byl to řecký filosof, matematik a astronom. Získal si přezdívku „otec čísel“. Víme, že jeho matka byla čarodějka a otec mudla. Dostalo se mu tak rovněž vzdělání kouzelnické i mudlovské, díky většímu a silnějšímu vlivu mudlovského otce však převažovalo mudlovské vzdělání i výchova. Z kouzelnického učení se mu nejvíce zalíbila astronomie, kterou se rozhodl dále rozvíjet. Tento obor byl v menší míře znám i u mudlů a jeho otec tak mohl být klidný. V mudlovské škole ho však nejvíce nadchla právě matematika a s ní spojená i filosofie. Později založil svou vlastní a velmi významnou školu, jejíž žáci si říkali pythagorejci. Pythagoras má na svém účtu mnoho důležitých objevů a přínosů. Nás však bude zajímat pouze jeho nejznámější, a to Pythagorova věta. Geometrické znění této věty je následující: Obsah čtverce sestrojeného nad přeponou (tj. nejdelší stranou) pravoúhlého trojúhelníku se rovná součtu obsahů čtverců sestrojených nad jeho odvěsnami. Jestliže si v pravoúhlém trojúhelníku označíme přeponu písmenem c a jeho dvě odvěsny písmeny a a b, pak nám věta říká, že c²= a² + b². Tento vzoreček se nám na pergamen napíše po vyřknutí kouzla *Pythagoras enuntiatios* [Pytágoras enuntyatos], a dvakrát poklepnout hůlkou na pergamen.Pro zajímavost přikládám grafický důkaz.

Díky znalosti Pythagorovy věty můžeme ověřit, zda je nějaký trojúhelník se zadanými délkami stran pravoúhlý nebo nikoliv. V případě, že známe délku dvou stran pravoúhlého trojúhelníku, můžeme pomocí Pythagorovy věty dopočítat stranu třetí. Na konkrétních příkladech si obě situace ukážeme.

Příklad 3.2: Rozhodněte, zda záhonek mandragory, který má následující délky stran: 81cm, 80cm, 89cm, tvoří pravoúhlý trojúhelník.

K vyřešení takového příkladu použijeme kouzlo *Pythagoras de …* [Pytágoras de], přičemž vzápětí po vyřknutí formule následuje poklepnutí na největší číslo ze tří zadaných hodnot, tj. na číslo, které by mělo odpovídat přeponě. Pak následuje poklepnutí i na zbývající dvě hodnoty, u kterých už nezáleží na pořadí.

Tedy *Pythagoras de * /ťuk na 89/, /ťuk na 80/ /ťuk na 81/. A vypíše se následující výsledek:

7 921 ≠ 12 961. Hodnota na levé straně se nerovná hodnotě na pravé straně, což nám značí, že záhonek nemá tvar pravoúhlého trojúhelníku.

Mudlovským způsobem by výpočet vypadal následovně:

Do vzorečku c² = a²+ b² si dosadíme zadané hodnoty: 89² = 80² + 81² a vypočítáme levou a pravou stranu rovnice. Tedy po umocnění 7 921 = 6 400 + 6 561 a po úpravě získáme 7 921 ≠ 12 961.

Jestliže bychom hodnoty změnili například na: 37cm, 12cm, 35cm. Pak po provedení kouzla *Pythagoras de * /ťuk na 37/, /ťuk na 12/ /ťuk na 35/, dostaneme výsledek: 1369 = 1369. Hodnoty na obou stranách rovnice jsou stejné a takovýto záhonek tak má tvar pravoúhlého trojúhelníku.

Příklad 3.3: Vypočtěte délku chodby od komnaty nejvyšší potřeby k první křižovatce chodeb, jestliže víte, že chodba pokračující na křižovatce vlevo, která směřuje k dívčí umývárně, je dlouhá 9 metrů a vzdálenost mezi KNP a dívčí umývárnou je vzdušnou čarou 41 metrů. 

Zapíšeme si hodnoty jednotlivých stran: a = 9, b = ?, c = 41.

Kouzelná formule, kterou použijeme je stejná jako u předchozího příkladu, tedy *Pythagoras de …* a postupné poklepnutí nejprve na hodnotu přepony (tj. číslo 41), pak na hodnotu známé odvěsny (tj. číslo 9) a nakonec ale i na otazník, který představuje neznámou hodnotu druhé odvěsny. Výsledkem je pak ? = 40. Tedy neznámá odvěsna (označena jako b) je rovna číslu 40. 

Do vzorečku c² = a²+ b² si tentokrát můžeme dosadit pouze dvě známé hodnoty: 41²= 9² + b². Po umocnění obou čísel dostaneme 1681 = 81 + b²a nyní z obou stran rovnice odečteme číslo 81. Získáme tak 1600 = b²a po odmocnění obdržíme chtěný výsledek b = 40.

Závěrem

O trojúhelníkách by se tu toho dalo napsat určitě mnohem více, ale já doufám, že jsem v této práci uvedla právě tu nejzákladnější část s nejpodstatnějšími a zároveň však nejjednoduššími problematikami, které si dokáže osvojit každý kouzelník, a zároveň jsem se vešla na snesitelnou délku pergamenu.

Zbývá už jen poděkovat panu profesorovi Filiusovi za pěkné a zajímavé téma OVCÍ a samozřejmě za všechny skvělé čtyři ročníky Kouzelných počtů. Tento předmět byl pro mě tím nejlepším a nejbližším zároveň.