Student: Piper Jarwealth
Kolej:Mrzimor
Školní rok: zima 2013

Kouzelnické počtyZadané téma: Tajuplné trojúhelníky
Konzultant: Filius Orionis
Posudek: Slečna Jarwealth zpracovala zadané téma do podoby „učební příručky“. Tento útvar jí umožnil nejprve přehledně vysvětlit základní pojmy, které se trojúhelníků týkají, a následně i demonstrovat jejich užití na praktických příkladech.

Osobně volbu zpracování hodnotím velmi kladně, byť cílový útvar není naplněn zcela stoprocentně (viz např. formulace „tři, podle mého nejdůležitější, pojmy“ či „vlastně taková matematická věta“, které se do odborného didaktického textu spíše nehodí), což je ale ryze formální detail.
Za mnohem důležitější považuji vlastní obsah, s nímž jsem více než spokojen. Slečna do práce zahrnula zcela základní pojmy, které s pomocí obrázků vhodně vysvětlila, ale i poznatky širší veřejnosti méně známé (Eukleidovy věty), přičemž vždy vhodně rozlišila mudlovskou a kouzelnickou rovinu popisu. Samozřejmě zadané téma nevyčerpala zcela – nedozvěděli jsme se například, jak se počítá obsah trojúhelníku, co je to střední příčka, či jak s trojúhelníkem souvisí kružnice opsaná a vepsaná (na obdobné téma se mohu zeptat u ústní zkoušky). Toto však z mé strany rozhodně není výtka, neboť něco takového zkrátka není možné. Plně tedy souhlasím s jejím závěrečným slovem a chválím za vhodně zvolenou délku práce i za množství zmíněných informací.

K vlastnímu vypracování mám jen několik spolu vzájemně nesouvisejících připomínek, jsou však ryze kosmetické:

- „...trojúhelník má vždy tři vrcholy, přičemž libovolné dva z nich mohou ležet na jedné přímce...“ – mohou, nebo musí?
- „Historie trojúhelníků sahá až do starého Řecka...“ – a ještě dál, například do starověké Indie či Egypta, kde dokonce znali Pythagorovu větu atd.
- součást formule „enuntiatios“ neodpovídá výslovnostní transkripci [enuntyatos] – zde ve výslovnosti minimálně vypadlo „i“, navíc bych doporučil číst slabiky „ti“ po latinském vzoru jako [ci] (obdobně též delineatio - [delineácio])
- k řešení příkladu 3.1 by bylo možná vhodné přidat pro názornost nákres
- „O trojúhelníkách“ – správně trojúhelnících


Celkově jsem s prací velice spokojen, hodnotím ji zaslouženou známkou Vynikající a doufám, že si najde své příznivce i v řadách širší veřejnosti.


Filius Orionis
Hodnocení: Vynikající
Hodnocení propugnatio: Vynikající
Hodnocení cogito: Vynikající


Vypracování

Tajuplné trojúhelníky


 

 

Slovo úvodem

 

 

Držíte v ruce vypracování mých OVCí, jež nesou krásný název „Tajuplné trojúhelníky“.  V mé snaze bylo sepsat matematickou učební příručku pro všechny kouzelníky, která by je světem trojúhelníků provedla a naučila je těm nejpodstatnějším základům. Sami uvidíte, že z našeho kouzelnického úhlu pohledu se nejedná o nic zvláště obtížného. Stačí umět správná kouzla a jedním mávnutím hůlky dokážeme to, s čím se mudlové trápí mnohdy i více jak čtvrt hodiny. Nesmíme však zapomínat, že matematika není pouze o našprtaných kouzelných formulí, ale především o logice, a že mudlovský pohled na věc nám dá mnohdy více poučení než naučení jednoho kouzla.

 



1.  Trojúhelník a jeho klasifikace



Všichni jistě víme, co to takový trojúhelník je a jak vypadá, ale pro přesnost zde uvedu i jeho definici, kterou většinou najdete v mudlovské odborné literatuře. „Trojúhelník je geometrický útvar určený třemi body, neležícími v jedné přímce.“ Z této definice je jasné, že trojúhelník má vždy tři vrcholy, přičemž libovolné dva z nich mohou ležet na jedné přímce, ale ten poslední třetí musí ležet mimo tuto přímku. Vrcholy trojúhelníku je zvykem označovat velkými tiskacími písmeny, malými písmeny pak jeho strany a malými řeckými písmeny jeho úhly. Každý trojúhelník má právě tři vnitřní úhly a šest vnějších úhlů. Označení i oba druhy úhlů jsou dobře znázorněny na následujícím obrázku. Důležitou vlastností všech trojúhelníků je fakt, že součet všech tří vnitřních úhlů je vždy roven 180° (tedy úhel, který svírá rovná čára) a součet vnitřního a příslušného vnějšího úhlu je rovněž roven 180°. Připomínám jen, že délka kružnice (obvod kruhu) je 360°.
 

 

 

 

 

Pojem trojúhelník a jeho značení je předpokládám zcela jasné. Teď se nabízí jeho klasifikace, a to buď podle stran, nebo podle jeho vnitřních úhlů. Podle stran zde máme tři druhy: obecný, rovnoramenný a rovnostranný. Podle úhlů jsou to rovněž tři druhy: ostroúhlý, pravoúhlýtupoúhlý. Co jsou tyto druhy zač a jak je poznáme? Už podle samotných názvů máme určitou představu. Já ale podám přesné vysvětlení a pro ještě lepší pochopení přikládám jejich vyobrazení. Obecný trojúhelník je takový trojúhelník, který má všechny strany různě dlouhé, neboli žádné dvě nejsou stejně dlouhé. Navíc u tohoto trojúhelníku platí, že i všechny jeho vnitřní úhly jsou různě velké. Rovnoramenný trojúhelník má stejně dlouhé právě dvě strany, těmto se pak říká rameny a třetí strana se nazývá základna. Co se týče jeho vnitřních úhlů, jsou zde dva stejně velké. Jsou to ty, které jsou přilehlé k základně. Rovnostranný trojúhelník má všechny strany stejně dlouhé a platí tedy, že i všechny jeho vnitřní úhly jsou shodné. Součet těchto úhlů ale musí dávat 180°, tedy všechny vnitřní úhly v rovnostranném trojúhelníku mají velikost 60°. Rozdělení podle stran máme, přejdeme tedy k dělení podle úhlů. Jako první zde máme ostroúhlý trojúhelník, pro nějž platí, že všechny vnitřní úhly jsou ostré. Co to ale znamená ostré úhly? Laicky by se dalo říci, že má všechny “hroty špičaté“. Přesně to ale znamená, že každý z vnitřních úhlů je menší než 90°. Zřejmě si již dokážeme představit, co se skrývá pod pojmem tupoúhlý trojúhelník. Tento trojúhelník má mezi svými vnitřními úhly jeden tupý úhel a dva ostré. Tupý úhel je opakem ostrého úhlu a je tedy větší než 90°. Pro poslední pravoúhlý trojúhelník se pak nabízí, že jeden z jeho úhlů bude mít velikost právě přesně 90°. Skutečně je tomu tak a značení takového úhlu je oblouček (čtvrtkružnice) uvnitř s tečkou (viz obrázek pravoúhlého trojúhelníku). Strany, které tento pravý úhel svírají, se nazývají odvěsny a třetí strana, která je jakoby naproti tomuto pravému úhlu, se nazývá přepona.

 

 

 

 

 

 


2.  Kouzelnická konstrukce 

 

 

Již tedy víme, co je to trojúhelník a jak se dělí podle stran i podle úhlů. Zatím jsme si však neřekli žádnou kouzelnou formulku, pomocí níž bychom nějaký ten trojúhelník vyčarovali na pergamen. K tomu se dostáváme právě teď. Nejjednodušší a nejzákladnější kouzlo je *Trigonumus* [trygonumus],pomocí něhož narýsujeme na pergamen libovolný trojúhelník, zcela náhodně. Nejsou u něj určeny ani úhly, ani strany, dokonce není zaručen ani typ. Pohyb hůlkou je stejný jako při samotné kresbě trojúhelníku, kreslíme tedy ve vzduchu nad pergamenem tři strany – doleva dolů, vpravo a zpět nahoru k počátku. K tomu vyslovujeme po částech zaklínadlo *Tri-go-numus*. Je velice důležité toto zaklínadlo dokonale ovládat, protože je nedílnou součástí všech dalších trojúhelníkových formulí.


Uvedla jsem zde celkem šest druhů trojúhelníků. Samozřejmě existují základní formule pro narýsování každého z nich, postupně si je teď představíme. Nejprve je ale důležité říci, že pro každý typ trojúhelníku je první část kouzelné formule totožná s kouzlem *Trigonumus*, jednotlivé druhy se tak liší pouze unikátním dovětkem ve formuli.

Libovolný obecný trojúhelník tak dostaneme pomocí formule *Trigonumus  universalis*, přičemž vyslovujeme Tri-go-numus s pohybem hůlkou do tvaru trojúhelníku (tedy stejně jako u obyčejného kouzla *Trigonumus*) a dovětek universalis [unyverzális] vyslovíme při konečném poklepnutí hůlkou. Formulky pro zbývajících pět druhů trojúhelníků se pak provádějí naprosto stejně a mění se pouze vyslovovaný dovětek.

Rovnoramenný trojúhelník narýsujeme pomocí kouzla *Trigonumus parihumerus* [paryhumérus],rovnostranný pak pomocí kouzla *Trigonumus parilinealis*  [parylineális].Tyto formulky už jsou trochu náročnější zejména na správnou a zřetelnou výslovnost, je tedy potřeba důkladně si je procvičit. Tyto tři kouzelné formulky nám slouží k narýsování libovolného trojúhelníku daného typu, ale bez určené délky stran.


Chceme-li tedy získat trojúhelník s námi určenými délkami stran, musíme se při kouzlu na tuto délku soustředit. Samozřejmě nejjednodušším případem je trojúhelník s určenou jednou stranou. Soustředíme se totiž pouze na jednu hodnotu, případně na stranu, která má mít tento rozměr. Rovnostranný trojúhelník je tak nejjednodušším případem, protože všechny strany jsou stejně dlouhé a stačí tak myslet pouze na jeden jediný rozměr. Rovnoramenný trojúhelník má již o jeden rozměr navíc, délka základny a délka ramen. Je třeba se soustředit na hodnotu, ale navíc, zda tato hodnota odpovídá straně, která je základna, nebo stranám, jež jsou ramena. Obecný trojúhelník je pak nejtěžším případem, kdy se musíme soustředit na hodnotu a přesně danou stranu. Pokud chceme narýsovat obecný trojúhelník s předem danými všemi stranami, musíme se soustředit na tři hodnoty příslušných tří stran. Důležité je však říci, že ne každá kombinace tří rozměrů stran může vytvořit trojúhelník. V takovém případě se buď nevykreslí vůbec nic, nebo se vykreslí něco, co nebude trojúhelníkem.

Obdobně jako trojúhelníky s předem zadanými stranami, můžeme rýsovat trojúhelníky s předem danými úhly. Existují však i složitější kombinace a konstrukce, u nichž už se neobejdeme bez nových kouzelných formulí. Samozřejmě i pro výše popsané případy máme kouzelné formule, ale dokážeme se bez nich po chvilce cviku zcela obejít a vystačit si tak pouze s naším soustředěním. 


Vraťme se ale zpátky k našim formulkám pro jednotlivé typy trojúhelníků. Zbývají předvést ještě tři kouzla, a to pro typy podle úhlů. Ostroúhlý trojúhelník vykouzlíme na pergamenu pomocí kouzla *Trigonumus acutarcus* [akutarkus], tupoúhlý trojúhelník kouzlem *Trigonumus amblyarcus * [amblyarkus] a konečně poslední pravoúhlý trojúhelník kouzlem *Trigonumus probuarcus * [probuarkus].Těmito formulkami opět získáváme trojúhelník příslušného typu bez předem určených parametrů (délek stran nebo přesné velikosti úhlů).

 



3.  Potřebné pojmy



V této kapitole bych chtěla krátce vysvětlit tři, podle mého nejdůležitější, pojmy, které se v problematice trojúhelníků vyskytují. Jsou to trojúhelníková nerovnost, výška a těžnice.

 

 

Trojúhelníková nerovnost je vlastně taková matematická věta, která nám odkrývá jednu z vlastností trojúhelníků. Tato věta zní následovně: součet délek libovolných dvou stran trojúhelníku je vždy delší než délka strany třetí. Jestliže máme trojúhelník o stranách a, b, c, pak nám věta říká, že a + b > c nebo a + c > b nebo b + c > a. Trojúhelníková nerovnost nám tak dává nástroj, jak rozpoznat, zda zadané délky mohou vytvořit trojúhelník nebo ne. Příslušná kouzelná formule pak zní *Trigonumus pravitas* následovaná poklepnutím na jednotlivé hodnoty stran a,b,c. V případě, že z daných délek lze sestavit trojúhelník, vypíše se na pergamen „Vyhovuje.“, v opačném případě „Nevyhovuje.“.

 

 

Výška je úsečka v trojúhelníku taková, že jeden její krajní bod je vrcholem trojúhelníku a druhý krajní bod je patou kolmice, jež je vedená od zmiňovaného vrcholu na protější stranu. Jinými slovy vytvoříme kolmici k jedné straně trojúhelníku tak, aby vedla do protilehlého vrcholu. Každý trojúhelník má tři strany a tři vrcholy, z čehož plyne, že bude mít také tři výšky. Výšky označujeme malým písmenem v s indexem názvu strany, ke které příslušná výška patří, tj. va, vb, vc.

 

 

Těžnice je úsečka v trojúhelníku taková, že jeden její krajní bod je vrcholem trojúhelníku a druhý krajní bod je středem protilehlé strany. Každý trojúhelník má pochopitelně tři těžnice, které značíme malým písmenem t s indexem názvu strany, ke které náleží, tj. ta, tb, tc. Tyto těžnice se protínají v jednom bodě, kterému říkáme těžiště (jistě dobře známý pojem). Těžiště pak rozděluje každou těžnici na dva díly v poměru 2:1, přičemž delší úsek těžnice leží vždy u vrcholu. To znamená, že délka těžnice od vrcholu k těžišti je vždy rovna 2/3 celkové délky těžnice.

  


 

4.  Eukleidés a Pythagoras

 


Historie trojúhelníků sahá až do starého Řecka, kde žilo několik významných kouzelníků zabývající se tehdy u mudlů velice populární vědou – matematikou, konkrétně především geometrií. Většina těchto kouzelníků pocházela ze smíšených rodin a více než k lektvarům, přeměňování či obraně proti černé magii je to táhlo právě k mudlovské matematice. Dosahovali nová poznání v této disciplíně, jak na mudlovské úrovni, tak na úrovni kouzelnické. Snažili se veškeré staré i nové poznatky prolnout i do světa kouzel a zvýšit tak u kouzelníků zájem o tuto vědu, která se tehdy na čarodějných školách vůbec nevyskytovala ve studijních osnovách. Rozhodla jsem se zde vyzdvihnout právě dvě jména spolu s jejich významným přínosem.



4.1. Eukleidés

 

Eukleidés žil v období asi od 325 př. n. l. až do 260 př. n. l, byl to řecký matematik a geometr, většinu života však strávil v Alexandrii v Egyptě. Měl mudlovské i kouzelnické vzdělání, kvůli matematice se však pohyboval více v mudlovském prostředí. Jeho nejvýznamnějším dílem jsou Základy, obsahující a shrnující dosud poznané matematické fakty ve třinácti knihách, zkrátka takový první rozsáhlý soubor učebnic matematiky. Mudlové však netuší, že Eukleidés sepsal tyto soubory dva. Ten druhý byl určen právě kouzelnickému světu, je v podstatě stejný jako mudlovský, ale ke každé problematice jsou navíc uvedeny i příslušné kouzelné formule. Pro nás jsou však nejdůležitější jeho dvě Euklidovy věty, které se týkají pravoúhlého trojúhelníku. První z nich je Euklidova věta o výšce, jejíž geometrické znění je následující: Obsah čtverce sestrojeného nad výškou pravoúhlého trojúhelníku se rovná obsahu obdélníka sestrojeného z obou úseků přepony. Jestliže si výšku označíme jako vc a jednotlivé úseky přepony jako cacb, pak podle zmíněné věty platí, že vc2= ca . cb. Tento vzoreček je možné získat formulí *Eukleidés enuntiatios primulus* [Euklides enuntyatos prymulus] s dvojím poklepnutím na pergamen. Druhá Euklidova věta je věta o odvěsně a zní: Obsah čtverce sestrojeného nad odvěsnou pravoúhlého trojúhelníka se rovná obsahu obdélníka sestrojeného z přepony a přilehlého úseku přepony. Odvěsny si označíme písmeny ab, přeponu pak písmenem ca její dva úseky stejně jako u první Euklidovy věty, tedy cacb. Potom podle druhé Euklidovy věty platí, že a2 = c . ca a b2 =c . cb. Oba vzorečky lze opět získat snadnou formulí *Eukleidés enuntiatios secundus* [Euklides enuntyatossekundus] a opět dvojí poklepnutí na pergamen.

Pro lepší pochopení obou Euklidových vět je přiložen obrázek, který získáme kouzlem *Eukleidés delineatio* [Euklides delinátyjo].

 

 


 

Euklidovy věty se používají v případech, kdy známe pouze některé, ale nejméně dvě, velikosti z možných šesti a potřebujeme zjistit ty zbývající. Uvedeme si zde jeden příklad, který vypočteme kouzelnickým i mudlovským způsobem.




Příklad 3.1: Záhonek má tvar pravoúhlého trojúhelníku, výška vedená od nejdelší strany záhonku dělí záhonek na dvě části – v levé části roste rumex a v pravé sarothamnus. Pravá část záhonku má rozměry, které nesdílí s levou částí, 50 cm (odvěsna) a 40 cm (část přepony). Jaké rozměry má část záhonku s rumexem?

 

 


Situaci popsanou v zadání si převedeme do schematického obrázku, který si vykouzlíme. Údaje, které známe, jsou: a = 50cm, ca = 40cm. Našim úkolem je nalézt velikosti b, cb a vc. Všechny neznámé hodnoty si zapíšeme takto: b = ?, c = ?, cb = ? a vc = ?.

 

 

Nejprve musíme použít Euklidovu větu o odvěsně (tzn. vzorečky a2 = c . ca a b2 = c . cb), protože známe hodnoty a a ca, čímž získáme rozměr c. Kouzelná formule pro tuto větu zní *Eukleidés secundus de …* a postupné poklepnutí nejprve na hodnotu a, pak na hodnoty c a ca, přičemž jedna ze tří hodnot bude reprezentovaná otazníkem.

 

 

V našem případě to bude vypadat následovně: *Eukleidés secundus de* /ťuk na 50/, /ťuk na ?/, /ťuk na 40/. Výsledkem bude ? = 62,5, což znamená, že rozměr c = 62,5cm. Známe rozměr c a ca, z čehož jednoduše dopočítáme rozměr cbpoužitím jistě dobře známého kouzla *Solve*. Tedy rozměr c= 22,5cm. Euklidovu větu o odvěsně teď můžeme použít znovu, tentokrát na zjištění rozměru b. *Eukleidés secundus de* /ťuk na ?/, /ťuk na 62,5/, /ťuk na 22,5/. Výsledkem je ? = 37,5, tedy b = 37,5cm.

 

 

Poslední rozměr, který nám zbývá vypočítat je výška vc. K tomu použijeme Euklidovu větu o výšce (tzn. vzoreček vc2= ca . cb). Kouzelná formule je obdobná té předchozí a zní *Eukleidés primulus de …* a postupné poklepnutí nejprve na hodnotu vc, pak na hodnoty caa cb, přičemž jedna ze tří hodnot bude reprezentovaná otazníkem.

 

 

V našem případě tedy *Eukleidés primulus de * /ťuk na ?/, /ťuk na 40/, /ťuk na 22,5/ a dostaneme ? = 30, což znamená vc = 30cm. Obdrželi jsme tak všechny rozměry a můžeme psát odpověď.

Část záhonku s rumexem má rozměry: 37,5cm (rozměr b), 30cm (rozměr vc) a 22,5cm (rozměr cb).

 

 

Mudlovským způsobem by celý výpočet zkráceně vypadal takto:

a2= c . ca

502= c x40 ->  2500 = 40 x c ->  c = 62,5

 

 

c = ca + cb

62,5 = 40 + cb ->  cb= 22,5

 

 

b2= c . cb

b2= 62,5 x22,5 ->  b2 = 1406,25 ->  b = 37,5

 

 

vc2 = ca . cb

vc2 = 40 x22,5 ->  vc 2 = 900 ->  vc = 30.

 


4.2. Pythagoras


Pythagoras ze Samu žil v období zhruba od 570 př. n. l. do 510 př. n. l., byl to řecký filosof, matematik a astronom. Získal si přezdívku „otec čísel“. Víme, že jeho matka byla čarodějka a otec mudla. Dostalo se mu tak rovněž vzdělání kouzelnické i mudlovské, díky většímu a silnějšímu vlivu mudlovského otce však převažovalo mudlovské vzdělání i výchova. Z kouzelnického učení se mu nejvíce zalíbila astronomie, kterou se rozhodl dále rozvíjet. Tento obor byl v menší míře znám i u mudlů a jeho otec tak mohl být klidný. V mudlovské škole ho však nejvíce nadchla právě matematika a s ní spojená i filosofie. Později založil svou vlastní a velmi významnou školu, jejíž žáci si říkali pythagorejci. Pythagoras má na svém účtu mnoho důležitých objevů a přínosů. Nás však bude zajímat pouze jeho nejznámější, a to Pythagorova věta. Geometrické znění této věty je následující: Obsah čtverce sestrojeného nad přeponou (tj. nejdelší stranou) pravoúhlého trojúhelníku se rovná součtu obsahů čtverců sestrojených nad jeho odvěsnami. Jestliže si v pravoúhlém trojúhelníku označíme přeponu písmenem c a jeho dvě odvěsny písmeny ab, pak nám věta říká, že c2= a2 + b2. Tento vzoreček se nám na pergamen napíše po vyřknutí kouzla *Pythagoras enuntiatios* [Pytágoras enuntyatos], a dvakrát poklepnout hůlkou na pergamen.Pro zajímavost přikládám grafický důkaz.




 

Díky znalosti Pythagorovy věty můžeme ověřit, zda je nějaký trojúhelník se zadanými délkami stran pravoúhlý nebo nikoliv. V případě, že známe délku dvou stran pravoúhlého trojúhelníku, můžeme pomocí Pythagorovy věty dopočítat stranu třetí. Na konkrétních příkladech si obě situace ukážeme.




Příklad 3.2: Rozhodněte, zda záhonek mandragory, který má následující délky stran: 81cm, 80cm, 89cm, tvoří pravoúhlý trojúhelník.

 

 


K vyřešení takového příkladu použijeme kouzlo *Pythagoras de …* [Pytágoras de], přičemž vzápětí po vyřknutí formule následuje poklepnutí na největší číslo ze tří zadaných hodnot, tj. na číslo, které by mělo odpovídat přeponě. Pak následuje poklepnutí i na zbývající dvě hodnoty, u kterých už nezáleží na pořadí.

 

 

Tedy *Pythagoras de * /ťuk na 89/, /ťuk na 80/ /ťuk na 81/. A vypíše se následující výsledek:

7 921 ≠ 12 961. Hodnota na levé straně se nerovná hodnotě na pravé straně, což nám značí, že záhonek nemá tvar pravoúhlého trojúhelníku.

 

 

Mudlovským způsobem by výpočet vypadal následovně:

Do vzorečku c2 = a2+ b2 si dosadíme zadané hodnoty: 892 = 802 + 812 a vypočítáme levou a pravou stranu rovnice. Tedy po umocnění 7 921 = 6 400 + 6 561 a po úpravě získáme 7 921 ≠ 12 961.

 

 

Jestliže bychom hodnoty změnili například na: 37cm, 12cm, 35cm. Pak po provedení kouzla *Pythagoras de * /ťuk na 37/, /ťuk na 12/ /ťuk na 35/, dostaneme výsledek: 1369 = 1369. Hodnoty na obou stranách rovnice jsou stejné a takovýto záhonek tak má tvar pravoúhlého trojúhelníku.




Příklad 3.3: Vypočtěte délku chodby od komnaty nejvyšší potřeby k první křižovatce chodeb, jestliže víte, že chodba pokračující na křižovatce vlevo, která směřuje k dívčí umývárně, je dlouhá 9 metrů a vzdálenost mezi KNP a dívčí umývárnou je vzdušnou čarou 41 metrů. 

 


Kdybychom si zadání rozkreslili na pergamen, zjistíme, že se nejedná o nic jiného, než o pravoúhlý trojúhelník se známou přeponou (41 metrů) a jednou odvěsnou (9 metrů).

Zapíšeme si hodnoty jednotlivých stran: a = 9, b = ?, c = 41.


Kouzelná formule, kterou použijeme je stejná jako u předchozího příkladu, tedy *Pythagoras de …* a postupné poklepnutí nejprve na hodnotu přepony (tj. číslo 41), pak na hodnotu známé odvěsny (tj. číslo 9) a nakonec ale i na otazník, který představuje neznámou hodnotu druhé odvěsny. Výsledkem je pak ? = 40. Tedy neznámá odvěsna (označena jako b) je rovna číslu 40. 


Zjistili jsme, že chodba od KNP k první křižovatce chodeb je dlouhá 40 metrů.

Mudlovským  způsobem by výpočet vypadal následovně:

Do vzorečku c2 = a2+ b2 si tentokrát můžeme dosadit pouze dvě známé hodnoty: 412= 92 + b2. Po umocnění obou čísel dostaneme 1681 = 81 + b2a nyní z obou stran rovnice odečteme číslo 81. Získáme tak 1600 = b2a po odmocnění obdržíme chtěný výsledek b = 40.

  


 

Závěrem

 


O trojúhelníkách by se tu toho dalo napsat určitě mnohem více, ale já doufám, že jsem v této práci uvedla právě tu nejzákladnější část s nejpodstatnějšími a zároveň však nejjednoduššími problematikami, které si dokáže osvojit každý kouzelník, a zároveň jsem se vešla na snesitelnou délku pergamenu.


Zbývá už jen poděkovat panu profesorovi Filiusovi za pěkné a zajímavé téma OVCÍ a samozřejmě za všechny skvělé čtyři ročníky Kouzelných počtů. Tento předmět byl pro mě tím nejlepším a nejbližším zároveň.