Pravděpodobností podivuhodnosti

Obsah:
1. Úvod
  1.1. Pravděpodobnost
  1.2. K problematice
2. Problém tří dveří
  2.1 Popis
  2.2. Zadání
  2.3. Řešení
  2.4. Zajímavost
3. Pravděpodobnostní lhářův paradox
  3.1 Popis
  3.2. Zadání
  3.3. Řešení
4. Petrohradský paradox
  4.1 Popis
  4.2. Zadání
  4.3. Řešení
5. Závěr
6. Poděkování
7. Zdroje

1.       Úvod
V této práci se pokusím poukázat na některé zajímavosti z oblasti pravděpodobnosti, shrnout je a vysvětlit.

1.1.   Pravděpodobnost
Co je to vůbec pravděpodobnost?
Pravděpodobnost je odvětví matematiky, které se zabývá očekávatelností možných výsledků daných náhodných jevů, říká nám, jak moc můžeme čekat, že určitý jev nastane, je vyjádřená číslem od nuly do jedničky, kdy číslo nula nám říká, že okolnost nemůže nastat a naopak číslo jedna pak, že okolnost je jistá. Často se můžeme setkat s pravděpodobností zapsanou procentuelně, a někdy i poměrově. Počítá se vydělením počtu příznivých výsledků celkovým počtem výsledků - například na kostce se každé číslo od jedné do šesti vyskytuje právě jednou, přičemž všech čísel je tam šest, pravděpodobnost, že padne jedno určité číslo, jedním hodem kostky se tedy vypočte 1/6.

1.2.    K problematice
Podivuhodnosti je takové vcelku vhodné slovíčko, neboť problémy týkající se pravděpodobnosti mnohdy spíše čerpají z naší nedostatečné informovanosti v tomto oboru, v podstatě si z nás střílí a matou naše smysly, a pravým paradoxem se nazvat nedají. Další nám ukazují odlišný pohled na věc a podobně.  

2.       Problém tří dveří

2.1.   Popis
Problém tří dveří, v trochu obměněné mudlovské verzi Monty Hallův problém, pojmenováno podle mudlovského televizního moderátora americké soutěže Let’s make a deal, na níž je tento úkol volně založen. Jak ale zjistíme, čirou náhodou to není jediná situace problému s dveřmi.
Problém tří dveří je právě případ toho, kdy se nás matematika snaží ošálit. Nutno říct, že úspěšně, většina lidí podlehne, ono totiž řešení je vcelku nečekané… Anglicky veridical paradox, čili pravdivý paradox.
Tento problém byl vznesen 1975, myšlenka je však založena na stejném základě jako problém tří vězňů z roku 1959 a Bertrandově problému krabic již z roku 1889.

2.2.   Zadání
Nyní vás uvedu do situace - omluvte mne za hluboký projev netaktnosti, jestliže se v ní již nacházíte - jste chrabrý princ… Chrabrý princ, jehož divoké žhnoucí srdce nebije pro nic jiného než pomoc nevinným. Skromnost stranou, jste veliký bohatýr, jehož ctěné královské uši se doslechly o nezměrném utrpení jisté OVCE. Jmenovala se Enrac. Nebohé zvíře bylo vězněno ukrutným a vypočítavým černokněžníkem, jehož děs budící jméno znělo Lirg. Jen co jste se jakožto světoznámý zastánce všech bezmocných dozvěděl o tomto páchaném bezpráví na takto nevinném zvířeti, neváhal jste ani oka mžik, okamžitě jste se rozhodl zakročit. Ovce bude vysvobozena za každou cenu!
Osedlal jste svého oře, naložil vše potřebné ke svedení lítého boje za právo a spravedlnost, a rozjel se v temný hvozd, za nímž na vás čeká černokněžník na svém stinném chladném zámku.
Nyní přeskočme cestu, ač byla, jak sám víte, velice namáhavá a plná nečekaných situací, v nichž jste musel prokázat mnoho odvahy a rytířskosti, něco ještě většího na vás stále čekalo.
Tak tedy kráčíte po padacím mostě vstříc novému nebezpečenství. Svého oře jste nechal za zády z hluboké lásky k němu a z obavy o jeho holý krk. Vstoupíte do zámku a plížíte se po chodbách a místnostech, až – v jedné ve druhém poschodí, přesně nad vstupem – pochodně podél zdí ráčily se zažehnouti hned po prvním vašem kroku. [https://www.youtube.com/watch?v=RNdEzAo3fo8] A zvučnými kroky se z temnoty noří zlověstně vypadající vysoká postava.  
Hlubokým škodolibým hlasem se táže: „Co v těchto končinách, kde se živá duše bojí?“
Ač velice zaskočen a vyveden z míry, polknete svůj strach a pevně odpovíte: „Zachránit vězněnou!“ A neobratně tasíte hůlku.
Lirg se jen zle zachechtá. „Schovejte tu hračku, švarný jinochu, stejně nic nezmůžete. Tady se bojuje jinak. Přistupme na jinou hru.“
Vy si vlastně oddechnete, neboť jste obvykle v bitvách velice nervózní. A navíc vás teď v břiše tíží spolknutý strach, což jak každý ví, není pocit nejbohulibější.
„Jak račte vidět, mladý princi, zde před vámi se tyčí tři kusy dveří. Za dvěma dveřmi je můj podlý výsměch, chomáč ovčí vlny, za jedněmi se ale ukrývá vaše, řekněme, výhra. Bojujte o ni!“ chrlil plameny svým temným hlasem.
„Vyberte si jedny dveře!“ vyštěkl po delší odmlce z vaší strany. Vaše zaražené zírání ho zjevně nebavilo.
„Tak tedy dobrá,“ dostal jste ze sebe, když vám to konečně došlo, a počal jste usilovně myslet. Po chvíli jste se rozhodl k velkému kroku.
„Tyhle chci!“ ukázal jste na poslední dveře.
Lirg vycenil zuby a dramaticky přistoupil ke dveřím uprostřed. Otevřel je a za nimi – z ovce pouze část, ta vlněná samozřejmě. Významně se na vás podíval a pravil: „Dávám Vám možnost změnit svou volbu. Přijmete ji nebo si stojíte za svým původním rozhodnutím?“ blýsklo mu zlověstně v očích. [https://www.youtube.com/watch?v=ImDtfKSL_k4]
A teď pozastavme příběh a podívejme se na hrdinovy možnosti. Zvýší se pravděpodobnost jeho výhry, pokud svolí ke změně?

2.3.   Řešení
Ano, zvýší. Na problém se nesmí začít pohlížet až v jeho polovině (tedy že dvě dveře a jedna výhra = 50:50), ale již od počátku. Každé dveře mají pravděpodobnost 1/3, že se za nimi ukrývá naše nebohá ovečka. Mějme je označeny abecedně, A – neotevřené dveře, B – (v budoucnu) vyřazené dveře, C – hrdinovy dveře. Hrdina určil dveře C, ale popravdě, ač bychom si ani náhodou nedovolili zpochybňovat jeho kvality, je pravděpodobnější, že zvolil dveře špatné, 2/3 pravděpodobnosti totiž jsou na A a B. Poté nám záporná postava vyřadila dveře B ze hry. Pravděpodobnost výhry se ale nemění, dveřím C setrvává 1/3, zbylým dvěma (nyní už jen jedněm, A) 2/3.
Můžeme se na to podívat i jinak, a to všemi kombinacemi výběru dveří. Jinak řečeno, při změně výběru princ vyhraje, když na počátku zvolí vlnu jedna nebo vlnu dva, kdežto vyhrát beze změny se nedá než přesným určením dveří již na počátku, v čemž je jádro pudla, to je málo pravděpodobné.
Dokládám obrázky, na kterých to možná jde vidět lépe.
Cesta k výhře podle volby: http://img853.imageshack.us/img853/6585/ovce1.png
Cesta k výhře podle kombinací: http://img407.imageshack.us/img407/4047/ovce2.png  
Ještě jedna poznámečka k vysvětlování: Poněkud názorněji to lze vidět a vycítit, jestliže přidáme více dveří. Tak třeba dejme tomu, že černokněžník nachystal sto dveří, to je opravdu dlouhá chodba, a pouze za jedněmi se skrývá bečící poklad. Nyní se jedny dveře vyvolí a padouch otevře nějaké jiné dveře – ale tady je kámen úrazu (a možná to přináší více otázek, než na kolik je to schopno odpovědět), jelikož se nedá zjistit počet nyní otevřených dveří, je to jedna třetina, všechny dveře až na jedny, anebo pouze jedny dveře, a naráz či postupně s více možnostmi změn? Podle pravidel aplikovaných na dveře tři je pravdivé všechno… Nicméně ať už by to mělo být jakkoli, když si přestavíme onen extrém, že za 99 dveřmi se výhra neskrývá a nyní je jich 98 otevřeno a jedny ne, náhle je o mnoho jasnější, že právě ty jedny zbylé jsou ty pravé… A i kdyby se odkryla jen třetina a zůstalo dveří 66, ač je pořád naděje, že se trefíme v podstatě mizivá, je stále větší než při původním počtu.
Ve světle těchto nepopiratelných důkazů nám nezbývá než ze všech sil telepaticky radit princi, změň svou volbu!
Nu a tedy na okamžik zpátky do příběhu. Vy jste se rozhodl svou volbu změnit, štěstí vám přálo, Lirg byl ohromen [http://youtu.be/C45_uFQqXoU], však nedělal problémy a šťastnou dvojici bez újmy propustil, a ovce… OVCE byla vybojována. Radostně zvolala: „Ach, konečně, na tento okamžik jsem čekala celých sedm let!“
A matematika tak zase jednou pomohla k vítězství dobra.

2.4.   Zajímavost
Nějak takhle se to alespoň vyučuje na kouzelnických školách. Mudlům stačí verze s televizní soutěží. Dál se již však už budu držet spíše jejich výkladů.
A teď k omamnosti tohoto příkladu. Podařilo se mi najít psychologický výzkum, nějaké poznatky tedy zmíním.
Když poprvé tento problém vyplaval na povrch, konal se výzkum, velká většina respondentů předpokládala, že pravděpodobnost výhry je na obou dveřích stejná. Z 228 testovaných lidí se pouhých 13 % procent (= 30 lidí) rozhodlo pro změnu. Jeden mudlovský psycholog dokonce řekl, že žádná jiná hádanka neklame lidi tak jako tato a údajně dokonce i fyzikové s Nobelovou cenou odpovídají špatně a stojí si za tím.

3.       Pravděpodobnostní lhářův paradox

3.1.   Popis
Lhářův paradox převedený do problematiky pravděpodobnosti. Klasický lhářův paradox se zakládá na tom, že tvrzení se vztahuje a odvolává zároveň samo na sebe. Například tvrzení „tato věta je nepravdivá“ nutně vede k logickému sporu, neb kdyby byla nepravdivá, její tvrzení by bylo správné, a tedy by byla pravdivá, nikoli nepravdivá… Něco podobného tu máme ohledně pravděpodobnosti.

3.2.   Zadání
Pokud náhodně zvolíte odpověď na tuto otázku, jaká je šance, že bude daná odpověď správná?
A) 25 %
B) 50 %
C) 0 %
D) 25 %

3.3.   Řešení
Jak jsem již výše nastínila, problém těchto paradoxů je ten, že se odkazují samy na sebe.
Jelikož pravděpodobnost by měla být rozprostřena rovnoměrně mezi čtyřmi odpověďmi, měla by dosahovat velikosti 1/4, čili 25 %.
A tak bychom tedy mohli říci, že řešením je A), jenže když možnost D) je totožná s možností A), to nám dělá padesátiprocentní šanci, že náhodným zvolením vyvolíme správnou odpověď.
Bylo by to tedy za B), 50 %? Jak se dalo čekat, ne. B) je samostatná možnost, která se ale nachází v možnostech pouze jednou. Pravděpodobnost, že ji náhodně zvolíme, je tak 25%, ne 50 %. Padesátiprocentní pravděpodobnost se zde vztahuje na náhodné zvolení odpovědi 25 %, nikoli té „správné“ odpovědi.
A za C? Pravděpodobnost, že náhodně zvolíme možnost C) je 25%, nikoli nula…
Tak to vypadá, že nám chybí správná odpověď. Ano, je to tak, tato otázka nás zahání do kouta, je to čistý paradox. Pravděpodobnost, že zvolíme správnou odpověď ze čtyř špatných odpovědí, je nulová. Když to ale připustíme a zvolíme možnost C), naskytne se již výše zmíněná trhlina, šance zvolit možnost C) je 25 %, a tak se ze správné možnosti stane možnost nesprávná. Ať tedy připustíme, že je to pravdivé či nikoli, nikdy nejsme schopni nalézt správné řešení.

4.       Petrohradský paradox

4.1.   Popis
Tento paradox byl vznesen na Petrohradské akademii věd roku 1738 Danielem Bernoullim. Dle mého to ani tak není paradox, jako spíš takové matematické slovíčkaření (Anebo, přiznávám, je možné, že jsem dostatečně nepochopila jeho pravou podstatu.), proto ho taky zmíním jen tak narychlo.

4.2.   Zadání
Existují dva kouzelníci se sklonem k hazardním hrám. Dva znudění kouzelníci, jež se rozhodli trochu si zahrát. Pravidla hry jsou jasná: hází se mincí, dokud nepadne panna, pak hra končí. Velikost výhry závisí na délce hry, přesněji na počtu hodů až po padnutí panny včetně. Padne-li panna v prvním hodu, naše výhra činí jednu jednotku (řekněme, že třeba srpec), když ve druhém, výhra jsou dva srpce, jestliže ve třetím, výhra jsou čtyři srpce, v pátém je to osm, v šestém šestnáct,… Zkrátka co kolo, to je výhra zdvojnásobena, obecně 2^n-1, kde n je pořadí posledního hodu. Otázka zní, kolik by měla činit vstupní částka do této hry.

4.3.   Řešení
Řešení vlastně nejspíš ani neexistuje. V přednesu Daniela Bernoulliho na akademii věd bylo vyřčeno tvrzení, že výherní částka by teoreticky mohla být nekonečně vysoká, a tak vstupní cena vypočtená střední hodnotou je také nekonečno. Jedná se prý o nekonečné sčítání jedné poloviny - http://img339.imageshack.us/img339/4682/petrohradskparadox.png. *
Všichni ale dobře víme, že taková suma je holý nesmysl a není možné na něco takového přistoupit. A taky že taková je neskutečná, jak z pravděpodobnosti, která narůstá do hodnoty 1/2ⁿ, že by takováto situace mohla nastat (a tak už při hře o deseti kolech je pravděpodobnost, že panna padla až teď 2¹⁰= 1 024 ku jedné – a to jsme vlastně ještě ve střízlivých číslech), tak také kvůli tomu, že pro výhru je třeba konec hry, ne nekonečně mnoho pokusů, které nekonečno by mělo být tím posledním hodem? Či by se hrálo nekonečně dlouho, takže by nebyl žádný konečný hod, neb jsme uvízli ve smyčce nekonečno?
Nicméně přistupme na to. Když by se to tedy vzalo takhle a n by opravdu bylo nekonečno, sama pravděpodobnost této situace je nekonečné 2^∞… (Což ale jen tak mimochodem dle mého dělat moc nejde, s nekonečnem není jen tak radno si zahrávat. Ano, můžeme říct, že určitá nerovnice platí v intervalu od nuly do nekonečna, ale nikdy se nesnažíme na nekonečno dosáhnout… Nekonečno je berlička, ne hmatatelný pojem, myslím, že se bere moc vážně a doslova… Ale to je jen můj osobní názor, vsadím se, že chytří muži s tím stejně počítají…* To jen tak pod čarou.)
Nu, tak tedy, pravděpodobnost, že hra bude trvat nekonečně dlouho, je jedna ku nekonečnu. Nepravděpodobnost by měla být ve skutečnosti dvakrát vyšší než samotná výhra (8 srpců výhra, pravděpodobnost 1/(8*2)), avšak v nekonečnu se rozdíly smazávají…
Kritika tohoto paradoxu se zakládá na pochybování o možnosti hrát do nekonečna (jako třeba že oba hráči jsou smrtelní a tak hra končí nejpozději úmrtím jednoho z nich), či to, že výhra roste astronomicky rychle, v mudlovském přepočtu peněz by měla být po pětatřiceti hodech rovna ceně státní rezervy Spojených států amerických…
Pravda to sice je, ale… dle mého, o tohle Bernoullimu nešlo, ani v nejmenším se nezajímal o to, že se těla hráčů, jejich stůl, mince a samotný svět mohou obrátit v prach… Kritici vůbec nezpochybňují samotný paradox, nýbrž pouze jeho realizovatelnost. Ale to cítí každý, čekat, že něco takového nastane, je přitažené za vlasy. Tyhle věci mu nevytýkám, mým nejlepším (anebo spíše jediným) argumentem je, že se mi prostě příčí aplikování abstraktního nekonečna na konkrétní realitu. A proto to radši ani neshledávám paradoxem, jako spíš… hulvátstvím! A ještě tedy ona nekonečná nepravděpodobnost. Dá se nekonečno přebojovat a na situaci by přeci jen mohlo dojít? Nevím, nevím…
Navíc, sama formulace střední hodnoty se zdá být divná, kdyby se šlo dostat k nekonečnu po jedničkách (po polovinách), nebylo by to nekonečno. Z druhého pohledu, jedna polovina znásobena nekonečnem v nekonečnu zmizí… 
Nu, nepokládám to za vyřešené a moudří mužové také ne, právě proto tomu říkají paradox, ať se mi to líbí či ne. Alespoň jsem se ale pokusila nastínit nějaké myšlenky.

5.      Závěr
Cílem práce bylo zmínit se o zajímavostech z koutku pravděpodobnosti. Jestliže to řeknu takhle, zmínit se mi je povedlo…
O těchto příkladech (a o pár dalších) toho bylo napsáno spousta. Nedělám si iluze, že jsem do všeho pronikla tak, jak by se nejspíše slušelo a patřilo na takovouto práci, a mě samotnou to zklamalo (třeba jen nezmíněný paradox dvou obálek, který se zjevil být příliš velkým problémem na takto malou práci a hlavně na takto malého autora). Sama od sebe jsem očekávala víc (alespoň kvantitou popsaných problémů), ale lepší holub v hrsti…
Taky je smutné, že je to kompilační dílo možná více, než je zdrávo. Snad budou hodnotitelovy oči shovívavé a budou schopny najít mé pokusy vložení sebe sama do vypracování. Na své ospravedlnění: Věřte, že to ani tak nebylo zrovna jednoduché…
Mimochodem omlouvám se za trochu nezvládnuté formátování, editor je opravdu hodně neposlušný a nějak si… nerozumíme ani slovo, očividně. =D

6.      Poděkování
A konečně přichází na řadu poděkování. Poděkování snad téměř všem v mém okolí.
Za prvé bych ráda poděkovala autorům stránek, které mi pomohly k tvorbě tohoto dílka, bez nich bych sama nic nezmohla. 
Za druhé si to nemohu odpustit a musím zde poděkovat lidem, kteří se mnou trpěli období „blíží se deadline“, morálně mě podporovali a dodávali nové nápady, bez nich by to také nešlo! =)
Za třetí děkuji čtenářům (kéž jich raději moc není), kteří vyvázli z mého (snad ne moc) zmateného textu živi a zdrávi. Těm méně šťastným, kterým se to třeba tak dobře nepovedlo, se předem velmi omlouvám.
A za čtvrté – a to hlavně – děkuji panu profesoru Filiusovi, bez něhož by nemohlo nejít či jít ani to nic, které by nešlo bez zdrojů a morálních podpor. Jsem moc ráda, že jsem svoje zkoušky mohla skládat právě u Vás. A ať už dopadly jakkoli, něco mi daly a za to jsem opravdu vděčná. Daly mi podnět se nad něčím povinně pozastavit a zamyslet, a zhodnotit tak i vlastní schopnosti… Děkuji za celý předmět Kouzelnické počty, za jeho zpracování a Váš přístup. Opravdu si moc cením, že i přes Vaše časové vytížení jste si našel tu „chvíli“ s vedením mých zkoušek. A jako důkaz tuto práci už konečně slavnostně uzavírám slovy: Neplecha ukončena! =)

7.      Zdroje:
* http://en.wikipedia.org/wiki/St._Petersburg_paradox#The_paradox
** http://www.aristoteles.cz/matematika/limity/pocitani-s-nekonecnem.php
http://www.wikipedia.org/ (jednalo se o velkou spoustu věcí, ve kterých jsem na tuto stránku spoléhala a ona mi velmi pomohla, jelikož to tu nechci zahlcovat odkazy, tak uvádím jeden obecně)
http://www.matweb.cz/kategorie-kombinatorika
http://scienceworld.cz/
Pozn.: Obrázky využité ve videích jsou z pohádky Anastazie, zvuky z TV Show Who Wants To Be A Millionaire, oboje staženo z internetu.